#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# <a href="https://colab.research.google.com/github/JLaurentin/notebooks_BCPST2_EDEN/blob/master/td0BCPST2c_revisionsDerivationEtEquationsDifferentielles.ipynb" target="_parent"><img src="https://colab.research.google.com/assets/colab-badge.svg" alt="Open In Colab"/></a>

# ># Rappels des chapitres "Dérivation" et "Equations différentielles"

# #### *Remarque* : Ce notebook propose à la fois des rappels et des exercices. On prendra le temps d'y réfléchir, le crayon à la main, sur une feuille de brouillon avant de proposer une réponse.   
# Une correction des exercices est proposée en fin de document mais elle ne doit être utilisée qu'en dernier recours, si les calculs n'aboutissent pas...

# **N'oubliez pas de sauvegarder ce notebook dans votre Drive**  
# 
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# > *Bonnes révisions !*
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# ## 1. Dérivation.

# Soit $a\in I$ où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ supposée de classe $\mathcal{C}^2$ sur $I$. Pour calculer une valeur approchée de la dérivée d'une fonction en $a$, une première approche consiste à utiliser la formule de Taylor Young à l'ordre 2 en supposant que la fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $I$. On a en effet :  
# $$f(a+h) \underset{a}{=} f(a)+f'(a)h+\cfrac{f''(a)}{2}h^2+o(h^2)$$
# En conséquence :
# $$f'(a)=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\left(\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}-\cfrac{f''(a)}{2}h+o(h)\right)=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\left(\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\right)$$
# Une méthode "naïve" pour évaluer la dérivée est donc de tabuler les valeurs de $\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ pour différentes valeurs de $h$.  
# On s'attend à ce que, plus la valeur de $h$ est proche de $0$, plus l'approximation de la dérivée soit précise.  
# Sous ces conditions, l'erreur $E(h)$ commise par cette approximation est dite "du premier ordre" : $$E(h)=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)=\cfrac{f''(a)}{2}h+o(h)$$

# In[ ]:


def deriv1(f,a,h):
    # On suppose f dérivable en a ; 
    # h est le pas de discretisation, suffisamment petit.
    return (f(a+h)-f(a))/h


# ### Application :   
# 
# Il est possible d'écrire une fonction Python `derive1(f,a,h)` qui retourne une valeur approchée de la dérivée de $f$ en $a$.  
# Il suffit de faire :

# Introduisons les bibliothèques utiles aux calculs et aux représentations graphiques :

# In[ ]:


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# ##### *Exemple* : Dériver la fonction $f_1:x\longmapsto x^3$ et représenter dans une même fenêtre le graphe de $f'_1$ et celui de son approximation, obtenue grâce à la fonction `deriv1`

# > La première partie de la réponse est simple : $f'_1(x)=3x^2$, $\forall x\in\mathbb{R}$.  
# 
# > Pour les représentations graphiques, on exécutera la fenêtre ci-dessous :

# In[ ]:


# confrontation des graphes :
f1 = lambda x:x**3
f1_prime = lambda x:3*x**2  # définition de la dérivée.
X = np.linspace(-2,2,100)
h = 1e-1
Yappr = [deriv1(f1,a,h) for a in X] # approximation numérique de la dérivée
plt.plot(X,f1_prime(X),'r-',X,Yappr,'b-.')


# Bon, ça a l'air de marcher ! Prendre $h=1e-2$ pour un résultat plus convaincant.  
# On peut désormais traiter sur le même principe l'exercice 1.

# ### Exercice 1 :
# Calculer et simplifier les dérivées des fonctions suivantes en précisant là où elles sont définies et compléter le script ci-dessous afin de tracer dans deux fenêtres contigües le graphe de $f$ et celui de sa dérivée, confronté à celui de son approximation numérique qui tiendra lieu de vérification de vos calculs de dérivée.

# 1. a) $f(x)=\cfrac{x-1}{x+2}$  ; b) $f(x)=\cfrac{x}{x^2-1}$ ; c) $f(x)= x\sqrt{\cfrac{1-x}{1+x}}$ ; d) $f(x)=\cfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}-x}+\cfrac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x}$ ; e) $f(x)=\cfrac{\cos(x)}{\sin^3(x)}+\cfrac{2}{\tan(x)}$  
# 
# 1. a)$f(x)=\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}$ ; b) $f(x)=\arctan\sqrt{\cfrac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}$

# In[ ]:


# Vérification graphique des dérivées :
# Remarque : pour les fonctions mathématiques, on utilisera la bibliothèque 'numpy' (np.exp(), np.sqrt(), etc.)
# et non pas la bibliothèque 'math'.
f = lambda x:... # A compléter selon la fonction f étudiée
f_prime = lambda x:... # dérivée de f à compléter
a,b = ...  , ... # indiquer les bornes de l'intervalle sur lequel le graphe est tracé.
X= np.linspace(a,b,100) 
plt.figure(figsize=(15,4))
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(X,f(X))
plt.title('Tracé de la fonction $f$')
plt.subplot(1,2,2)
h = 1e-2
Yappr = [deriv1(f,a,h) for a in X] # approximation numérique de la dérivée
plt.plot(X,f_prime(X),'r-',X,Yappr,'b-.')
plt.title('Tracés de la dérivée de $f$')


# ## 2. Equations différentielles du premier ordre.

# L'objectif est d'aborder d'un point de vue numérique les équations différentielles d'ordre $1$ de la forme $$y'+a(t)y=b(t)$$
# où $a$ et $b$ sont deux fonction continues sur une intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et pour laquelle une condition initiale $y(t_0)=y_0$ est connue.  
# On admettra que la solution au problème ainsi posé existe en tant que fonction définie sur $I$ et qu'elle est unique. 

# ** La méthode dite "Euler explicite" ** : Cette méthode repose sur l'idée simple utilisée précédemment que, puisque la solution cherchée est dérivable sur $I$, on peut approcher la dérivée de $y$ en tout réel $t$ de $I$ en écrivant :
# 	$$y'(t)\underset{0}{\approx}  \cfrac{y(t+h)-y(t)}{h}$$
# 	Cette approximation repose sur le fait que, $y$ étant dérivable sur $I$, elle admet un développement limité à l'ordre $1$ et que pour tout $t\in I$ :
# $$y(t+h)=y(t)+h\cdot y'(t)+ o(h)$$
# 
# Dès lors : $$y(t+h)\cong y(t)+h\cdot y'(t)=y(t)+h\cdot(b(t)-a(t)y(t))$$

# ** Mise en oeuvre : ** En partant du point $(t_0,y_0)$, on considère que la courbe représentant $y$ peut être approchée par un segment de droite de pente $y'(t_0)$ sur l'intervalle de temps $[t_0,t_0+h]$, $h$ étant bien sûr petit.  
# On pose alors :
# $$\begin{cases} t_1&=t_0+h\\y_1=y(t_1)&=y_0+h\cdot y'(t_0) \end{cases}$$
# Ensuite, en partant du point $(t_1,y_1)$, on suit la droite de pente $y'(t_1)$ sur l'intervalle de temps $[t_1,t_1+h]$.  
# 
# On construit ainsi une suite de points de façon récurrente en posant $\forall n\in\{0,\cdots,N\}$ :
# $$\begin{cases} t_{n+1}&=t_n+h\\y_{n+1}&=y_n+h\cdot y'(t_n) \end{cases}$$
# avec $$y'(t_n)=b(t_n)-a(t_n)\cdot y(t_n)$$
# 
# La ligne brisée joignant les points $\{(t_n,y_n), 0\leq n\leq N\}$ donnera une solution approchée de l'équation différentielle.  
# 
# Pour construire une solution numérique d'une équation différentielle du premier ordre, il suffit donc de créer une subdivision de $I$, suite de points $(t_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $t_n=t_0+nh\in I$ et pour laquelle $h$ est un réel strictement positif qu'on pourra choisir aussi petit qu'on le souhaite.  
# La suite $(y(t_n))=(y_n)$ construite selon la récurrence ci-dessus, répond alors à la question cherchée...

# **En pratique :** Posons $I=[u,v]$ intervalle sur lequel on cherche à obtenir une solution approchée de :  
# 
# $$y'+a(t)y=b(t), y(t_0)=y_0$$
# 
# Une écriture possible de la méthode d'Euler est la suivante :
# - - -
#     def solApprochee(u,v,y0,h):
#         # tracé de la solution cherchée sur l'intervalle [u,v]
#         # y0 est la condition à l'origine et h est le pas de temps choisi.
#         N = int((v-u)/h) # nombre de pas ou nombre de points de la subdivision.
#         T,Y = np.zeros(N+1),np.zeros(N+1)  # initialisation de la subdivision (t_n) et de la suite (y_n)
#         T[0] = u # temps initial
#         Y[0] = y0 # position initiale
#         for n in range(N): # N pas de 0 à N-1
#             T[n+1] = T[n] + h
#             Y[n+1] = Y[n] + h*(b(T[n])-a(T[n])*Y[n])
#         return T,Y

# **Exemple :** On considère l'équation différentielle ($E$) : $y'+3y=0$ et $y(0)=2$.\\
# Pour confronter la solution approchée à la fonction $f$, solution de cette équation différentielle, on commence par résoudre cette équation différentielle sur $\mathbb{R}_+$ :  
# D'après le cours : $$\exists C\in\mathbb{R}/y(t)=Ce^{-3t}$$
# et $y(0)=C=2$ donc la solution cherchée est : $$y(t)=2e^{-3t}$$
# 
# Pour une solution approchée grâce à la méthode d'Euler, on exécutera les instructions ci-dessous.  
# 
# Il suffira alors de tracer sur une même fenêtre la solution approchée et la solution exacte.

# In[ ]:


def solApprochee1(u,v,y0,h):
    # y'+3y = 0 ; ici a(t) = 3 et b(t) = 0
    # tracé de la solution cherchée sur l'intervalle [u,v]
    # y0 est la condition à l'origine et h est le pas de temps choisi.
    N = int((v-u)/h) # nombre de pas ou nombre de points de la subdivision.
    T,Y = np.zeros(N+1),np.zeros(N+1) # initialisation de la subdivision (t_n) et de la suite (y_n)
    T[0] = u # temps initial
    Y[0] = y0 # position initiale
    a,b = 3,0
    for n in range(N): # N pas de 1 à N
        T[n+1] = T[n]+h
        Y[n+1] = Y[n] + h*(b-a*Y[n])
    return T,Y

h = 0.1
T,Y = solApprochee1(0,3,2,h) # solution approchée sur I=[0,3]
f = lambda t:2*np.exp(-3*t) # solution exacte
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(T,f(T),'r-',label= 'solution exacte')
plt.plot(T,Y,'b-.',label='solution approchée')
plt.legend(loc='best')


# Voilà qui semble relativement convaincant. Essayez avec `h = 0.01` pour vérifier que la solution approchée est meilleure.

# ** Simplification possible : ** En considérant que la dérivée dépend à la fois du temps et de la position occupée, on peut donner une forme simplifiée à la fonction précédente si on introduit une fonction $g$ définie par :
# $$g(t,y)=b(t)-a(t)\cdot y$$ car alors :  
# $$y'(t)=g(t,y(t))=b(t)-a(t)\cdot y(t)$$ 
# et dans ce cas la relation de récurrence devient :
# $$ \begin{cases} t_n &= t_{n-1}+h\\ y_n&= y_{n-1}+h\cdot g(t_{n-1},y_{n-1}) \end{cases} $$ 

# **APPLICATION : ** Résolution de $y'+3y=t$, $y(0)=2$.  
# > On notera que les solutions homogènes sont toujours de la forme $y_0(t)=Ce^{-3t}$ et qu'une solution particulière est de la forme $y_p(t)=a_1t+a_0$, ce qui donne par identification : $y_1(t) = \cfrac{1}{3}(t-\cfrac{1}{3})$  
# 
# > soit $$y(t)=\cfrac{10}{9}e^{-3t}+\cfrac{1}{3}(t-\cfrac{1}{3})$$ en tenant compte du fait que $y(0)=1$.
# 
# > Pour la résolution numérique, on écrit : $y'(t)=t-3y(t)$ et donc $y'(t)=g(t,y(t))$ où on a posé : $$g(t,y)=t-3y$$
# 
# > La fonction précédente devient :

# In[ ]:


# Solution exacte :
f = lambda t:(10/9)*np.exp(-3*t)+(1/3)*(t-1/3)

# fonction auxiliaire :
g = lambda t,y:t-3*y

def solApprochee2(g,u,v,y0,h):
    # y'+3y = t ; ici a(t) = 3 et b(t) = t et donc y'(t)=t-3y(t)
    # tracé de la solution cherchée sur l'intervalle [u,v]
    # y0 est la condition à l'origine et h est le pas de temps choisi.
    N = int((v-u)/h) # nombre de pas ou nombre de points de la subdivision.
    T,Y = np.zeros(N+1),np.zeros(N+1) # initialisation de la subdivision (t_n) et de la suite (y_n)
    T[0] = u # temps initial
    Y[0] = y0 # position initiale
    for n in range(N): # N pas de 1 à N
        T[n+1] = T[n]+h
        Y[n+1] = Y[n] + h*g(T[n],Y[n])
    return T,Y

h = 1e-2
T,Y = solApprochee2(g,0,2,1,h) # solution approchée sur I=[0,2]

plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(T,f(T),'r-',label= 'solution exacte')
plt.plot(T,Y,'b-.',label='solution approchée')
plt.legend(loc='best')


# ### Exercice 2 :
# Résoudre les équations différentielles suivantes sur l'intervalle $I$ indiqué et les confronter sur l'intervalle $[u,v]$ à la solution obtenue par approximation numérique en complétant la ligne de code ci-dessous qui utilise la fonction `solApprochee2()` mise en place précédemment (*Note :* Penser à exécuter au moins une fois cette fonction avant de traiter l'exercice). 

# 1. $y'+y=\cos(t)$ sur $I=\mathbb{R}$, $y(0)=1$, graphe sur $[u,v]=[0,10]$ ;  
#     *Note :* On pourra chercher une solution particulière sous la forme $y_p(x)=A\cos(x)+B\sin(x)$ où $A,B\in\mathbb{R}$.  
#     
# 2. $y'-2y+e^x=0$ sur $I=\mathbb{R}$, $y(0)=0$, graphe sur $[u,v]=[0,2]$ ;  
# 3. $xy'-2y+x=0$ sur $I=\mathbb{R}_+^*$, $y(1)=2$, graphe sur $[u,v]=[1,4]$ ;
# 4. $(1-x^2)y'+2xy-4x=0$ sur $I=]1,+\infty[$, $y(2)=-1$, graphe sur $[u,v]=[2,5]$ ;
# 5. $y'-\cfrac{xy}{x^2-1}=x$ sur $I=]1,+\infty[$, $y(2)=2$, graphe sur $[u,v]=[2,10]$ ;
# 6. $xy'-y+\ln(x)=0$ sur $I=\mathbb{R}_+^*$, $y(1)=0$, graphe sur $[u,v]=[1,10]$ ;
# 7. $y'-y\tan(x)=\sin(2x)$ sur $I=]-\pi/2,\pi/2[$, $y(0)=1/3$, graphe sur $[u,v]=[0,1.5]$ ;

# In[ ]:


# Solution exacte :
f = lambda t:...# A compléter

# fonction auxiliaire :
g = lambda t,y:... # A compléter (par exemple pour 1. on posera g = lambda t,y:np.cos(t)-y )

h = 1e-2
u,v = ... ,... # A compléter
y0 = ... # A compléter
T,Y = solApprochee2(g,u,v,y0,h) # solution approchée sur I=[0,2]

plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(T,f(T),'r-',label= 'solution exacte')
plt.plot(T,Y,'b-.',label='solution approchée')
plt.legend(loc='best')


# ## 3. Solutions des exercices.

#  **Correction exercice 1 :**  
# > 1.a) $\mathcal{D}_{f'}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$, $f'(x)=3/(x+2)^2$, on pourra prendre : `a,b = -1.9 , 2`  
# > 1.b) $\mathcal{D}_{f'}=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$, $f'(x)=-\cfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$, on pourra prendre : `a,b = -0.9 , 0.9`  
# > 1.c) $\mathcal{D}_{f'}=]-1,1[$, $f'(x)=\cfrac{1-x-x^2}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$, on pourra prendre : `a,b = -0.9 , 0.9`  
# > 1.d) $\mathcal{D}_{f'}=\mathbb{R}$,  $f(x)=4x^2+2$ et donc $f'(x)=8x$, on pourra prendre : `a,b = -1 , 1`  
# > 1.e) $\mathcal{D}_{f'}=\mathbb{R}\setminus\{k\pi,k\in\mathbb{Z}\}$, $f'(x)=-\cfrac{3}{\sin^4(x)}$, on pourra prendre : `a,b = 0.1 , 3`  
# > 2.a) $\mathcal{D}_{f'}=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[$, $f'(x)=-\cfrac{\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}}{2\sqrt{x^2-1}}$, on pourra prendre : `a,b = 1.1 , 3`  
# > 2.b) $\mathcal{D}_{f'}=\mathbb{R}\setminus\{k\pi,k\in\mathbb{Z}\}$. Sur $]-\pi,\pi[\setminus\{0\}$ : $f'(x)=\begin{cases}1/2&\text{ si }x\in]0,\pi[\\ -1/2&\text{ si}x\in]-\pi,0[\end{cases}$ (prendre `a,b = 0.1,3` puis `a,b = -3,-0.1`)  
# *Remarque :* Pour le tracé d'une fonction constante égale à `c` il faut écrire : `f = lambda x:c*x**0`

# **Correction exercice 2  :**
# > 1. $y_0(t)=Ce^{-t}$ ; $y_p(t)=\cfrac{\cos(t)+\sin(t)}{2}$ soit $y(t)=\cfrac{\cos(t)+\sin(t)+e^{-t}}{2}$ car $y(0)=1$
# > 2. $y_0(x)=Ce^{2x}$ ; $y_p(x)=e^{x}$ [solution évidente]. Soit $y(x)=e^x-e^{2x}$ car $y(0)=0$
# > 3. $y_0(x)=Cx^2$ ; $y_p(x)=x$ [solution évidente]. Soit $y(x)=x^2+x$ car $y(1)=2$
# > 4. $y_0(x)=C(1-x^2)$, $y_p(x)=2$ [solution évidente]. Soit $y(x)=3-x^2$ car $y(2)=-1$
# > 5. $y_0(x)=C\sqrt{x^2-1}$, $y_p(x)=x^2-1$ [solution évidente]. Soit $y(x)=x^2-1-\cfrac{\sqrt{3(x^2-1)}}{3}$ car $y(2)=2$
# > 6. $y_0(x)=Cx$ et $y_p(x)=\ln(x)+1$ [Variation de la constante]. Soit $y(x)=\ln(x)+1-x$ car $y(1)=0$
# > 7. $y_0(x)=\cfrac{C}{\cos(x)}$ et $y_p(x)=-\cfrac{2}{3}\cos^2(x)$ [Variation de la constante]. Soit $y(x)=\cfrac{1}{\cos(x)}-\cfrac{2}{3}\cos^2(x)$ car $y(0)=\cfrac{1}{3}$

# In[ ]: