#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# ## Exercice 10.1

# In[1]:


A.<x,y> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
I = A.ideal(y^4*x + 3*x^3 - y^4 - 3*x^2, x^2*y - 2*x^2, 2*y^4*x - x^3 - 2*y^4 + x^2)


# On retrouve le générateur de $ℚ[y] ∩ I$ à la fin de la base de Gröbner

# In[2]:


I.groebner_basis()


# In[3]:


I.change_ring(A.change_ring(names='y,x')).groebner_basis()


# Une méthode alternative de calculer le même résultat

# In[4]:


I.elimination_ideal(x)


# ## Exercice 10.2

# In[5]:


A.<x,y,z,t> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
I = A.ideal(x + y - z, x^2- 2*t^2, y^2 - 5*t^2)


# In[6]:


G = I.groebner_basis()
G


# In[7]:


p = G[-1](t=1)
p


# In[8]:


p(z=sqrt(2)+sqrt(5)).expand()


# In[9]:


q = G[-2](t=1)
q


# In[10]:


q(y=sqrt(5), z=sqrt(2)+sqrt(5)).expand()


# ## Exercice 10.5

# In[11]:


A.<X,Y> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
I = A.ideal(X^4 + Y^4 - 1, X^5*Y^2 - 4*X^3*Y^3 + X^2*Y^5 - 1)
G = I.groebner_basis()
G


# In[12]:


G[-1]


# In[13]:


q = G[-1].univariate_polynomial()
q


# In[14]:


q.factor()


# In[15]:


q.change_ring(RR).factor()


# In[16]:


q.roots(RR)


# In[17]:


(implicit_plot(I.0, (X,-5,5), (Y,-5,5))
 + implicit_plot(I.1, (X, -5, 5), (Y, -5, 5)))


# L'avant-dernier polynôme de la base de Gröbner nous permet de calculer $X$ en fonction de $Y$

# In[18]:


G[-2]


# In[19]:


I.variety()


# In[20]:


I.variety(CC)


# ## Exercice 10.6

# In[21]:


A.<u,v,x,y,z> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
I = A.ideal(v*x - u^2, u*y - v^2, z - u)
G = I.groebner_basis()
G


# L'idéal obtenu par élimination contient une hyper-surface parasite $z=0$. À l'aide d'une variable $t$, on peut forcer les dénominateurs $u$ et $v$ à ne pas s'annuler en ajoutant le polynôme $1 - uvt$ à l'idéal.

# In[22]:


A.<t,u,v,x,y,z> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
I = A.ideal(v*x - u^2, u*y - v^2, z - u, 1 - u*v*t)
G = I.groebner_basis()
G


# In[23]:


A.<t,u,x,y> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
I = A.ideal(t^2 + t + 1 - x,
            (t^2 - 1) - y*(t^2 + 1),
            1 - u*(t^2+1))
G = I.groebner_basis()
G