#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# ## Exercice 2.1

# Avec des anneaux de polynômes

# In[1]:


A.<x,y> = QQ[]
P = x*y^5 + 2*y^4 + 3*y^3*x^3 + 4*x^2*y^2 + 5*x*y^2 + 6*y*x^3 + 7*y


# In[2]:


P.degree()


# In[3]:


Q = P.polynomial(x)
Q


# In[4]:


Q.parent()


# Une syntaxe équivalente

# In[5]:


B = QQ['y']['x']
B


# In[6]:


B(P)


# avec des variables symboliques

# ## Exercice 2.2

# Avec des variables symboliques

# In[7]:


var('x,y')


# In[8]:


P = (x^2 + x*y + x + y)*(x + y)


# In[9]:


P


# In[10]:


P.expand()


# In[11]:


P.factor()


# In[12]:


P.expand().collect(x)


# In[13]:


P.expand().collect(y)


# Avec des anneaux de polynômes

# In[14]:


A.<x,y> = QQ[]


# In[15]:


P = (x^2 + x*y + x + y)*(x + y)
P


# In[16]:


P.factor()


# In[17]:


P.polynomial(x)


# In[18]:


P.polynomial(y)


# ## Exercice 3.1

# In[19]:


A.<x,y> = QQ[]


# In[20]:


A.term_order()


# In[21]:


x > y


# In[22]:


P = x*y^5 + 2*y^4 + 3*y^3*x^3 + 4*x^2*y^2 + 5*x*y^2 + 6*y*x^3 + 7*y


# In[23]:


P


# In[24]:


B.<x,y> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
B.term_order()


# In[25]:


B(P)


# In[26]:


C = B.change_ring(order='deglex')
C


# In[27]:


C.term_order()


# In[28]:


C(P)


# In[29]:


P.change_ring(B.change_ring(order='degrevlex'))


# ## Excercice 3.7

# In[30]:


A.<z,y,x> = PolynomialRing(QQ, order="lex")
z > y > x


# In[31]:


I = A.ideal([y - x^2, z - x^3])


# In[32]:


I.basis_is_groebner()


# In[33]:


(z^2 - x^4*y).mod(I)


# In[34]:


h1, h2 = (z^2 - x^4*y).lift(I)
h1, h2


# In[35]:


h1*I.gen(0) + h2*I.gen(1)