线性方程组

  • 线性方程组
  • 线性方程组的解有三种情况:
    1. 无解
    2. 唯一解
    3. 无穷多解
  • 线性方程组的系数 -> 矩阵 -> 增广矩阵
  • 解线性方程组 -> 增广矩阵的行初等变换:
    1. 倍加变换
    2. 对换变换
    3. 倍乘变换
  • 行阶梯形矩阵 (一般是上三角,故称为 $U$(upper)) -> 基本变量与自由变量

定理1 (简化阶梯形矩阵的唯一性) 每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

定理2 (存在与唯一性定理) 线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。就是说,增广矩阵的阶梯形没有形如 $$ [0 \cdots 0 \quad b] \quad b \neq 0 $$ 的行,若线性方程组相容,它的解集可能有两种情形:(1) 当没有自由变量时,有唯一解;(2) 若至少有一个自由变量,有无穷多解。

  • 仅有一列的矩阵 -> 列向量 -> 向量
    • 是有序对
    • 加法 $u + v$ 与数乘 c$u$
  • 给定 $\mathbb{R}^{n}$ 中向量 $v_1,v_2, \cdots, v_p$ 和标量 $c_1, c_2, \cdots, c_p$,向量 $$ y = c_{1}v_{1}+ \cdots + c_{p}v_{p} $$ 称为向量 $v_1, v_2, \cdots, v_p$ 以 $c_1, c_2, \cdots, c_p$ 为线性组合
  • 向量方程 <=> 增广矩阵的线性方程组
  • 一个基本思想:把向量的线性组合看作是矩阵与向量的积

定理3 若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,它的各列为 $a_1, \cdots, a_n$,而 $b$ 属于 $\mathbb{R}^m$,则矩阵方程 $$ Ax = b $$ 与向量方程 $$x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+ \cdots +x_{n}a_{n}=b$$ 有相同的解集。它又与增广矩阵为 $$ [a_1 \quad a_2 \cdots a_n \quad b]$$ 的线性方程组有相同的解集。

定理4 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,则下列命题是逻辑上等价的,也就是说,对某个 $A$,它们都成立或者都不成立。

  1. 对 $\mathbb{R}^m$ 中的每个 $b$,方程 $Ax=b$ 有解。
  2. $\mathbb{R}^m$ 中的每个 $b$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合。
  3. $A$的各列生成$\mathbb{R}^m$。
  4. $A$在每一行都有一个主元位置。
  • 主对角线上元素为 1, 其他位置上元素为 0, 这个矩阵称为单位矩阵,记为 $I$。

定理5 若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,$u$ 和 $v$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中向量,$c$ 是标量,则

  1. $A(u + v) = Au + Av$
  2. $A(cu) = c(Au)$
  • 线性方程组如果可以写成 $Ax=0$ 的形式,其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵而 $0$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的零向量,则称为齐次的。这样的方程组至少有一个解,即 $x=0$,这个解称为它的平凡解
  • 齐次方程 $Ax=0$ 有非平凡解,当且仅当方程至少有一个自由变量。
  • 参数向量方程 $x = su+tv$

定理6 设方程 $Ax=b$ 对某个 $b$ 是相容的, $p$ 为一个特解, 则 $Ax=b$ 的解集是所有形如 $w=p+v_k$ 的向量的集,其中 $v_k$ 是齐次方程 $Ax=0$ 的任意一个解。

  • $\mathbb{R}^n$ 中一组向量 ${v_1, \cdots, v_p}$ 若在向量方程 $$ x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+\cdots+x_{p}v_{p}=0 $$ 仅有平凡解,则称之为 线性无关. 若存在不全为零的权 $c_1, \cdots, c_p$,使 $$ c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots+c_{p}v_{p}=0 $$, 则称之为 线性相关

定理7 (线性相关集的特征) 两个或更多个向量的集合 $S={v_1,\cdots, v_p}$ 线性相关,当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合,事实上,若 $S$ 线性相关,且 $v_1 \neq 0$,则某个 $v_j(j>1)$ 是它前面几个向量 $v_1, \cdots, v_{j-1}$ 的线性组合。

定理8 若一个向量组的向量个数超过每个向量元素个数,那么这个向量组线性相关。就是说,$\mathbb{R}^n$ 中任意向量组 ${v_1, \cdots, v_p}$,当 $p>n$ 时线性相关。

定理9 若向量组 $S={v_1, \cdots, v_p}$ 包含零向量,则它线性相关。

  • 矩阵变换 线性变换强调映射的性质,而矩阵变换描述这样的映射如何实现。

定理10 设 $T:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ 为线性变换,则存在唯一的矩阵 $A$,使 $$T(x)=Ax,对 \mathbb{R}^n 中的一切x$$ 事实上,$A$ 是 $m\times n$ 矩阵,它的第 $j$ 列是向量 $T(e_j)$,其中 $e_j$ 是单位矩阵 $I_n$ 的第 $j$ 列:$$A = [T(e_1) \cdots T(e_n)]$$

定理11 设 $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 为线性变换,则 $T$ 是一对一当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡解。

定理12 设 $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 是线性变换,设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵,则

  1. $T$ 把 $\mathbb{R}^n$ 映射到 $\mathbb{R}^m$,当且仅当 $A$ 的列生成 $\mathbb{R}^m$。
  2. $T$ 是一对一的,当且仅当 $A$ 的列线性无关。
In [14]:
A = [0  3 -6  6 4 -5
     3 -7  8 -5 8  9
     3 -9 12 -9 6 15]
rref(A)
Out[14]:
3×6 Array{Float64,2}:
 1.0  0.0  -2.0  3.0  0.0  -24.0
 0.0  1.0  -2.0  2.0  0.0   -7.0
 0.0  0.0   0.0  0.0  1.0    4.0
In [15]:
A=[36 51 13 33; 52 34 74 45; 0 7 1.1 3]
rref(A)
Out[15]:
3×4 Array{Float64,2}:
 1.0  0.0  0.0  0.277223
 0.0  1.0  0.0  0.391921
 0.0  0.0  1.0  0.233231
In [17]:
A=[2 3; 1 -5]
B=[4 3 6; 1 -2 3]
A*B
Out[17]:
2×3 Array{Int64,2}:
 11   0  21
 -1  13  -9