矩阵的迹定义为所有对角元的和:
$$ \mathrm{Tr}(\mathbf A)=\sum_{i} A_{i,i} $$矩阵的 F 范数可以用迹来表示:
$$ \|\mathbf A\|_F = \sqrt{\mathrm{Tr}(\mathbf{AA^\top})} $$根据定义,矩阵的迹在转置操作下保持不变:
$$ \mathrm{Tr}(\mathbf A) = \mathrm{Tr}(\mathbf A^\top) $$只要定义合法,乘法的迹满足如下的循环性质:
$$ \mathrm{Tr}(\mathbf{ABC}) = \mathrm{Tr}(\mathbf{CAB}) = \mathrm{Tr}(\mathbf{BCA}) $$或者更一般的有:
$$ \mathrm{Tr}(\prod_{i=1}^n \mathbf{F}^{(i)}) = \mathrm{Tr}(\mathbf{F}^{(n)}\prod_{i=1}^{n-1} \mathbf{F}^{(i)}) $$一个重要的性质是,对于标量来说,其迹等于它本身:
$$\mathrm{Tr}(a)=a$$