对角阵(diagonal matrix
)是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵。对角线上的元素可以为 0 或其他值。
如果矩阵 $\bf D$ 是对角阵,则 $D_{i,j} = 0 \forall i\neq j$。
单位矩阵是对角阵。
对于 $n\times n$ 对角方阵,我们可以用主对角线上的元素将其表示为:$\mathbf D = \text{diag}(\bf v)$,表示 $D_{i,i} = v_i$。
对角方阵有很多好的性质:
注意对角矩阵不一定是对角方阵。
对称矩阵(symmetric matrix
)满足转置操作下的不变性:
即 $\forall i, j, A_{i,j} = A_{j, i}$。
模($L^2$ 范数)为 1 的向量叫做单位向量(unit vector
):
两个向量的内积为 0 时,我们称这两个向量正交(orthogonal
):
如果一组单位向量两两正交,称这组向量是单位正交的(orthonormal
)。
如果一个方阵的逆矩阵就是它的转置,那么我们称这个矩阵是正交矩阵(orthogonal matrix
):