为了引入矩阵的逆,我们需要先定义单位矩阵:单位矩阵乘以任意一个向量等于这个向量本身。记 $\mathbf I_n$ 为保持 $n$ 维向量不变的单位矩阵,即:
$$ \mathbf I_n \in \mathbb R^{n\times n}, \forall \mathbf x \in \mathbb R^{n}, \mathbf I_n \mathbf{x=x} $$单位矩阵的形式十分简单,所有的对角元素都为 $1$,其他元素都为 $0$,如:
$$ \mathbf I_3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $$矩阵 $\bf A$ 的逆记作 $\mathbf A^{-1}$,定义为一个矩阵使得
$$ \mathbf A^{-1} \mathbf A = \mathbf I_n $$如果 $\mathbf A^{-1}$ 存在,那么线性方程组 $\bf Ax=b$ 的解为:
$$ \mathbf A^{-1}\mathbf{Ax} = \mathbf I_n \mathbf x = \mathbf x = \mathbf A^{-1}\mathbf b $$