Notebook

Lineáris és homogén transzformációk¶

Tartalom: lineáris és homgén transzformációk pyhonban

Szükséges előismereketek: python, matplotlib, numpy, opencv, lineáris algebra

Érdemes megnézni témában a következő videót: https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE (3blue1brown Linear transformations and matrices | Essence of linear algebra, chapter 3) a lecke példáit követik a feldolgozást.

A lineáris transzformációkat 2x2-es, míg a 2D-s geometriai transzformációkat 3x3-as mátrixok segítségével írhatjuk fel. Egy pont transzformáció utáni koordinátáit a pont homogén koordinátás vektora és a transzformációs mátrix szorzata adja. De nézzük ezt inkább példán.

Kiindulásképp rajzoljunk ki pár koordinátát:

In [1]:

%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

a0 = np.array([[0, 2], [0, 5], [3, 5], [3, 2], [0, 2], [0, 5], [1.5, 7],
              [0.45, 5.6], [0.45, 6.5], [0.6, 6.5], [0.6, 5.8], [1.5, 7], [3, 5]])
plt.plot(a0[:, 0], a0[:, 1], "*-", label="a0")
plt.grid(True)
plt.axis("equal")
plt.legend()
plt.show()

Vegyük a következő t1 transzformációs mátrixot.

$t_1 = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\\end{array} \right]$

Szorozzuk össze a0-val, , így a1-et kapjuk, figyeljük meg az ereményt.

In [2]:

t1 = np.array([[0, 1], [-1, 0]])
a1 = np.dot(a0, t1)

plt.plot(a0[:, 0], a0[:, 1], "*-", label="a0")
plt.plot(a1[:, 0], a1[:, 1], "*-", label="a1")
plt.grid(True)
plt.axis("equal")
plt.legend()
print("t1 = \n", np.transpose(t1))
plt.show()

t1 = 
 [[ 0 -1]
 [ 1  0]]

Vegyük a következő t2 transzformációs mátrixot.

$t_2 = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right]$

In [3]:

t2 = np.array([[1, 0], [1, 1]])
a2 = np.dot(a0, t2)
plt.plot(a0[:, 0], a0[:, 1], "*-", label="a0")
plt.plot(a2[:, 0], a2[:, 1], "*-", label="a2")
plt.grid(True)
plt.axis("equal")
plt.legend()
print("t2 = \n", np.transpose(t2))
plt.show()

t2 = 
 [[1 1]
 [0 1]]

A t4 transzformációs mátrixot a vízszintes tengelyre tükröz:

$t_4 = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\\end{array} \right]$

A t5 transzformációs mátrixot 2xes méretűre nagyítja az alakzatot:

$t_5 = \left[ \begin{array}{cccc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\\end{array} \right]$

In [4]:

t3 = np.array([[1, 2], [3, 1]])
t4 = np.array([[1, 0], [0, -1]])
t5 = np.array([[2, 0], [0, 2]])

a3 = np.dot(a0, t3)
a4 = np.dot(a0, t4)
a5 = np.dot(a0, t5)

plt.plot(a0[:, 0], a0[:, 1], "*-", label="a0")
plt.plot(a3[:, 0], a3[:, 1], "*-", label="a3")
plt.plot(a4[:, 0], a4[:, 1], "*-", label="a4")
plt.plot(a5[:, 0], a5[:, 1], "*-", label="a5")

plt.grid(True)
plt.axis("equal")
plt.legend()
print("\nt3 = \n", np.transpose(t3))
print("\nt4 = \n", np.transpose(t4))
print("\nt5 = \n", np.transpose(t5))
plt.show()

t3 = 
 [[1 3]
 [2 1]]

t4 = 
 [[ 1  0]
 [ 0 -1]]

t5 = 
 [[2 0]
 [0 2]]

Az origó körüli α szöggel történő forgatás mátrixa:

$t_r = \left[ \begin{array}{cccc} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \\\end{array} \right]$

In [5]:

plt.plot(a0[:, 0], a0[:, 1], "*-", label="a0")
for rot in range(12):
    rot /= 2
    t6 = np.array([[np.cos(rot), np.sin(rot)], [-np.sin(rot), np.cos(rot)]])
    a6 = np.dot(a0, t6)
    plt.plot(a6[:, 0], a6[:, 1], "*-", label=str(rot))
plt.grid(True)
plt.axis("equal")
plt.legend()
plt.show()

További olvasnivaló: