状況設定:
$\vec{y} = (y_1, y_2, \cdots , y_m)^T$が定まる.
つまり,$n$変数関数が$m$個ある.
例:極座標
$$ y_1 = \phi_1(r, \theta) = r\cos{\theta} = x_1 \cos{x_2}\\ y_2 = \phi_2(r, \theta) = r\cos{\theta} = x_1 \sin{x_2}\\ $$または,$n$変数の$m$次元ベクトル値関数がある.
$\frac{\partial y_1}{\partial x_1}$ をij成分とする$m\times n$ 行列$\mathbf{J}$ をヤコビ行列という.
例:$i=j=2$のヤコビ行列
$$ J_{i=m=2, j=n=2} = \begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} \end{pmatrix} $$ヤコビ行列の行列式で,
という.
変換の「拡大率」を表す.
重積分での変数変換でも使用
$$ \iint_D f(x, y) dxdy = \iint_D f(\varphi_1(u, v), \varphi_2(u, v)) \left|\frac{(\partial \varphi_1(u, v), \varphi_2(u, v))}{(\partial u, \partial v)}\right|du dv $$$x_0$周りでの1次近似
$$ y(x) \simeq y(x_0) + y'(x_0)(x-x_0)\\ $$$y'(x_0) \to \mathbf{J}(\vec{x_0})$
$$ \vec{y}(\vec{x}) \simeq \vec{y}(\vec{x_0}) + \mathbf{J}(\vec{x_0})(\vec{x}-\vec{x_0})\\ $$2次元極座標$(r, \theta)$から,直交座標$(x,y)$への変数変換
重積分での変数変換では, $$ dxdy = r dr d\theta $$
の3変数をもつ.
import scipy as sp
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib notebook
fig = plt.figure(figsize=(4, 4))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.text3D(*(0, 0, 0), "O")
ax.scatter3D(1, 1, 1)
ax.quiver3D(*(0, 0, 0), *(1, 1, 1), arrow_length_ratio=.2)
ax.text3D(*(1, 1, 1), "P")
ax.quiver3D(*(1, 1, 1), *(0, 0, -1), arrow_length_ratio=.2)
ax.text3D(*(1, 1, 0), "Q")
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")
ax.set_zlabel("z")
plt.axis("scaled")
ax.set_xlim(0, 2)
ax.set_ylim(0, 2)
ax.set_zlim(0, 2)
plt.show()
重積分での変数変換では,
$$ dxdydz = r^2 \sin{\theta} dr d\theta d\phi $$と表記される.